Как найти объем шара

Думаю, первым что всплывёт в памяти математика, при словосочетании “объем шара”, будет эта формула:

$V=\frac {4}{3} \pi R^3$

Ну а если вы вдруг не всплывёт, то её всегда можно вывести через интеграл:

Проводим ось ОХ через центр шара.
Площадь произвольного сечения на расстоянии от центра шара можно выразить как:

$S(x)=\pi (R^2-x^2)$

$V=\int\limits_{-R}^{R} S(x)\,dx =\int\limits_{-R}^{R} \pi (R^2-x^2)\,dx =$

$= \pi \int\limits_{-R}^{R} R^2 \,dx - \pi \int\limits_{-R}^{R} x^2 \,dx = \pi R^2 x \Bigr|_{-R}^{R} - \frac {\pi x^3}{3} \Bigr|_{-R}^{R} =$

$= \pi R^3 +\pi R^3 - \frac {\pi R^3}{3} - \frac {\pi R^3}{3} = \frac {4}{3} \pi R^3$

Единственное, на практике выражать объем через радиус будет не всегда удобно. Радиус трудно измерить напрямую. Куда проще штангенциркулем измерить диаметр. Поэтому чтоб лишний раз не упражняться в делении на два, можно представить объем шара сразу через его диаметр:

$V=\frac {1}{6} \pi D^3$

Объем шара

Формула для вычисления объема шара имеет вид:

где R — радиус шара.

Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой:

V сег =πh 2 (R-h/3), h — высота шарового сегмента.

Площадь поверхности шара или сферы

Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же):

где R — радиус сферы.

Архимед очень любил шар и сферу, он даже попросил оставить на его гробницу рисунок, на котором в цилиндр вписан шар. Архимед считал, что объем шара и его поверхность равны двум третьим от объема и поверхности цилиндра, в который вписан шар»

Площадь искривленной поверхности, которую нельзя развернуть на плоскость, вычисляют так. Разбивают поверхность на такие куски, которые уже достаточно мало отличаются от плоских. Потом находят площади этих кусков, как если бы они были плоскими (например, заменяя их проекциями на плоскости, от которых поверхность мало отклоняется). Сумма их площадей и даст приближенно площадь поверхности. Так поступают на практике: площадь поверхности купола получается как сумма площадей покрывающих его кусков листового металла (рис. 17.5). Еще

лучше это видно на примере земной поверхности. Она искривлена — примерно сферическая. Но участки, небольшие в сравнении с размерами всей Земли, измеряют как плоские.

Вычисляя плоскость сферы, описывают вокруг нее близкую к ней многогранную поверхность. Ее грани будут приближенно представлять куски сферы, а ее площадь дает приближенно площадь самой сферы. Ее дальнейшее вычисление основано на следующей лемме.

Лемма. Объем многогранника Р, описанного вокруг сферы радиуса R, и площадь его поверхности связаны соотношением

Замечание: Аналогичным соотношением связаны площадь многоугольника Q, описанного вокруг круга радиуса и его периметр (рис. 17.6):

Опишем вокруг сферы какой-либо многогранник Р. Пусть у него граней Разобьем Р на пирамиды с общей вершиной в центре О и с гранями в основаниях (рис. 17.7).

Каждая такая грань лежит в касательной плоскости сферы и, значит, перпендикулярна радиусу сферы в точке касания. Значит, этот радиус есть высота пирамиды Поэтому ее объем будет:

где — площадь грани Сумма этих площадей дает площадь поверхности многогранника Р, а сумма объемов пирамид — его объем Поэтому

Теорема (о площади сферы). Площадь сферы радиуса R выражается формулой:

Пусть дана сфера радиуса R. Возьмем на ней П точек, не лежащих в одной полусфере, и проведем через них касательные плоскости к сфере. Эти плоскости ограничат многогранник описанный вокруг сферы. Пусть — объем многогранника — площадь его поверхности, V — объем шара, ограниченного рассматриваемой сферой, и S — ее площадь.

Многие из нас любят играть в футбол или, по крайней мере, почти каждый из нас слышал про эту знаменитую спортивную игру. Всем известно, что в футбол играют мячом.

Если спросить прохожего, форму какой геометрической фигуры имеет мяч, то часть людей скажут, что форму шара, а часть, что формы сферы. Так кто же из них прав? И в чем разница между сферой и шаром?

Шар — это пространственное тело. Внутри шар чем-либо заполнен. Поэтому у шара можно найти объем.

Примеры шара в жизни: арбуз и стальной шарик.

Шар и сфера, подобно кругу и окружности, имеют центр, радиус и диаметр.

Сфера — поверхность шара. У сферы можно найти площадь поверхности.

Примеры сферы в жизни: волейбольный мяч и шарик для игры в настольный теннис.

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.

Вернемся к формулам

Так как радиус и диаметр будут характеризовать шар, то при расчете объема они будут играть ключевую роль. Если поставить в любом месте на его поверхности и соединить с центральной точкой, то все они будут считаться радиусами, и будут иметь одинаковую длину. То есть, проще говоря, радиус соединяет точку поверхности с центром. А отрезки, концы которых являются точками на поверхности, и проходят через центр, называются диаметром. Можно прийти к выводу, что центральная точка делит диаметр ровно пополам, тем самым показывая радиусы данного шара. Простыми словами, диаметр вдвое больше радиуса.

Само распространенной формулой считается: V=43⋅π⋅R3

И самый частый вопрос, который возникает у людей, это может доказать любой опросник или сайты взаимопомощи с домашним заданием. Как рассчитать объем шара, зная диаметр?

Если же у вас известен диаметр, то нужно будет найти для начала радиус по формуле d = 2 х r, r = d 2;

И далее найдя все необходимые показатели, мы сможем найти объем шара: Vшара=43⋅π⋅R3.

Смотрите видео о том, как рассчитать объем шара. А также расскажите в комментариях, другие способы узнать объем шара.

голоса

Рейтинг статьи

Читайте так же:

Где находится датчик фаз на Приоре?