Цилиндр: площадь боковой поверхности. Формула площади боковой поверхности цилиндра

Вначале нужно рассмотреть несколько определений. Только после их изучения можно приступать к рассмотрению вопроса о формуле площади боковой поверхности цилиндра. На основе этой записи можно вычислить и иные выражения.

• Под цилиндрической поверхностью понимают плоскость, описываемую образующей, движущейся и остающейся параллельной заданному направлению, скользящей по имеющейся кривой.
• Имеется и второе определение: цилиндрическую поверхность образуют множество параллельных прямых, пересекающих заданную кривую.
• Образующей называют условно высоту цилиндра. При ее перемещении вокруг оси, проходящей через центр основания, получается обозначенное геометрическое тело.
• Под осью подразумевают прямую, проходящую через оба основания фигуры.
• Цилиндром называется стереометрическое тело, ограниченное пересекающимися боковой поверхностью и 2 параллельными плоскостями.

Существуют разновидности данной объемной фигуры:

1. Под круговым подразумевают цилиндр, направляющая которого – это окружность. Его главными составляющими считаются радиус основания и образующая. Последняя равна высоте фигуры.
2. Существует прямой цилиндр. Свое название он получил благодаря перпендикулярности образующей к основаниям фигуры.
3. Третий вид — скошенный цилиндр. В учебниках можно встретить и другое его название «круговой цилиндр со скошенным основанием». Данную фигуру определяет радиус основания, минимальная и максимальная высоты.
4. Под равносторонним цилиндром понимают тело, имеющее равные между собой высоту и диаметр круглой плоскости.

Сначала нужно представить, как выглядит развертка в двухмерном пространстве.

Это не что иное, как прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности. Формула ее известна с незапамятных времен —2π * r , где r — радиус окружности. Другая сторона прямоугольника равна высоте h . Найти искомое не составит труда.

S бок = 2π * r * h ,

где число π = 3.14.

Для облегчения расчетов иногда требуется произвести вычисления через диаметр. Например, имеется кусок полой трубы известного диаметра.

Не утруждая себя лишними расчетами, имеем готовую формулу. На помощь приходит алгебра за 5 класс.

Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h = 2π * d2/4 + 2π * h * d/2 = π * d2/2 + π * d * h,

Вместо r в полную формулу нужно вставить значение r = d/2.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 .

Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 .

Сечения цилиндра

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом в 90 градусов, всегда получатся прямоугольная фигура .

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом отличным от 90 градусов, получатся фигура, похожая на прямоугольник , но две боковые стороны которого будут являться кривыми линиями.

Если секущая поверхность проходит параллельно основаниям цилиндра, то сечением будет круг .

Если секущая поверхность проходит через боковую поверхность, но при этом не параллельна основанию цилиндра, то в сечении получается эллипс .

Если секущая поверхность проходит через одно основание цилиндра и боковую поверхность, то в сечение будет фигура в виде половины эллипса .

Площадь полной поверхности цилиндра

Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).

Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра

Полная площадь поверхности круглого цилиндра равна сумме площадей боковой поверхности круглого цилиндра и удвоенной площади основания. Основание круглого цилиндра есть круг и его площадь вычисляется по формуле площади круга:

Вычисление площади поверхности

1. Услуги проектирования
2. Двойной интеграл
3. Вычисление площади поверхности

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $sigma $, однозначно проектирующаяся в область $mathbf < extit < D >> $ на плоскости $mathbf < extit < Оху >> $. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $sigma :;z=f(x,y),;(x,y)in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >$ = 2$mathbf < extit < ax >> $ из сферы $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >+mathbf < extit < z >> ^ < 2 >$ = 4$mathbf < extit < a >> ^ < 2 >$ .

Решение:

Область $mathbf < extit < D >> $ — сдвинутый на $mathbf < extit < а >> $ единиц по оси $mathbf < extit < Ох >> $ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $mathbf < extit < Оху >> $ и $mathbf < extit < Охz >> $:

Вычислить площадь cферы радиуса (a.)

Решение:

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >= < a^2 >> ;; < ext < или >;;z = sqrt < < a^2 >- < x^2 >- < y^2 >> . > $

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле $ < S_ < largefrac < 1 > < 2 >
ormalsize > > = iintlimits_R < sqrt < 1 + < < left( < frac < < partial z >> < < partial x >> >
ight) > ^2 > + < < left( < frac < < partial z >> < < partial y >> >
ight) > ^2 > > dxdy > .$

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2 < S_ < largefrac < 1 > < 2 >
ormalsize > > = 4pi < a^2 >.$

Далее:

Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Частные случаи векторных полей

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Теорема о предполных классах

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Свойства тройного интеграла

Полином Жегалкина. Теорема о представлении в виде полинома Жегалкина

СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице

Функции 2-значной логики. Лемма о числе функций. Элементарные функции 1-ой и 2-х переменных