Centr-dostavki.ru

Центр Доставки
6 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Перемещение тела при равноускоренном движении

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Перемещение тела при равноускоренном движении»

Прямолинейным равноускоренным движением называется движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменялась на одинаковую величину. И основной характеристикой такого движения являлось ускорение — это физическая векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

Как определить координату тела, пройденный путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении?

Это можно сделать, если рассмотреть прямолинейное равноускоренное движение как набор большого количества очень малых равномерных перемещений тела.

Первым решил задачу местоположения тела в определённый момент времени при ускоренном движении итальянский учёный Галилео Галилей. Галилей использовал наклонную плоскость с гладкой канавкой посередине, по которой скатывались латунные шары. По водным часам он засекал определённый интервал времени и фиксировал расстояния, которые за это время преодолевали шары. Галилей выяснил, что если время увеличить в два раза, то шары прокатятся в четыре раза дальше (т.е. зависимость квадратичная). Это опровергало мнение Аристотеля, что скорость шаров будет постоянной.

Получим формулу для определения перемещения при равноускоренном движении графическим методом.

Известно, что при равноускоренном движении тела, происходящем вдоль координатной оси X, скорость с тече­нием времени не остается постоянной, а меняется со временем согласно формуле

Т. е. скорость является линейной функцией, и поэтому графики скорости имеют вид прямой.

Прямая 1 соответст­вует движению с поло­жительным ускорением (скорость увеличивается), прямая 2 — движе­нию с отрицательным ускорением (скорость убывает).

График скорости разобьем на маленькие прямоугольные участки. Каждый участок будет соответствовать определённой постоянной скорости.

Необходимо определить пройденный путь за первый промежуток времени. Запишем формулу

Теперь посчитаем суммарную площадь всех имеющихся у нас фигур. А сумма площадей при равномерном движении – это полный пройденный путь.

Обратите внимание, от точки к точке скорость будет изменяться, тем самым можно получить путь, пройденный телом именно при прямолинейном равноускоренном движении.

Заметим, что при прямолинейном равноускоренном движении тела, когда скорость и ускорение направлены в одну сторону, модуль перемещения равен пройденному пути, поэтому, когда определяется модуль перемещения, то определяется и пройденный путь.

В данном случае можно говорить, что модуль перемещения будет равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени.

Фигура, ограниченная графиком скорости и осью времени есть не что иное, как прямоугольная трапеция. Из математики известна формула для нахождения площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению половины суммы её оснований на высоту.

Следовательно, перемещение за все время tчисленно равно площади тра­пеции ОАВС. В нашем случае длина одного из оснований численно равна υoх, длина дру­гого — υх. Высота же ее чис­ленно равна t. Отсюда следует, что перемещение равно:

Подставим в эту формулу вместо υ равную ей величину υ + at.Тогда

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим

Это есть уравнение перемещения в проекциях на ось координат.

При пользовании этой формулой нужно помнить, что s, υ и а могут быть как положительными, так и отрицательными — ведь это проекции векторов пути, начальной скорости и ускорения на ось X.

Теперь вспомним, что пройденный путь, равный в нашем случае модулю перемещения, выражается разностью: s = xx

Если в уравнение подставить полученное нами выражение для S, то запишем закон, по которому движется тело при прямолинейном равноускоренном движении:

Это уравнение называется основным кинематическим уравнением равноускоренного движения.

Если тело движется из состояния покоя, график проходит через начало координат, фигура под графиком – прямоугольный треугольник, площадь которого равна половине произведения катетов.

Тогда формула для определения перемещения при­нимает вид:

Это уравнение перемещения при равноускоренном движении без начальной скорости.

x = x + at 2 /2

Это кинематическое уравнение равноускоренного движения , без начальной скорости.

Рассмотрим некоторые важные зависимости между величинами равноускоренного движения. Для равноускоренного движения без начальной скорости путь, пройденный телом, пропорционален квадрату времени. Значит, пути, пройденные телом за 1 с, 2 с, 3 с, 4 с будут относиться как квадраты последовательных натуральных чисел.

Для любого равноускоренного движения, пути, пройденные телом за любые равные промежутки времени, будут относиться как последовательный ряд нечетных чисел.

Основные выводы:

– Перемещение тела за все время t численно равно площади тра­пеции, ограниченной графиком скорости и осью времени.

уравнениеперемещения

кинематическое уравнение равноускоренного движения

– Для равноускоренного движения без начальной скорости путь, пройденный телом, пропорционален квадрату времени.

– Для любого равноускоренного движения, пути, пройденныетеломза любые равные промежутки времени, будутотноситьсякакпоследовательный ряд нечетных чисел.

Фото книг по физике

Задача 1. Автомобиль, имея скорость, равную по величине v = 32,4 км/ч, за время t1 = 22 с увеличил ее до значения v1 = 72 км/ч. Определить величину ускорения и путь, пройденный автомобилем за это время, считая движение равноускоренным.

Задача 2. Посадочная скорость пассажирского самолета имеет величину v = 135 км/ч. Длина пробега L1 = 500 м. Определить время t1 пробега по посадочной полосе и величину а ускорения самолета, считая движение равнозамедленным.

Задача 3. Два автомобиля движутся навстречу друг другу – первый равноускоренно с начальной скоростью, величина которой v01 = 36 км/ч и ускорением, равным по величине а1 = 0,3 м/с 2 , а второй – равнозамедленно с начальной скоростью, величина которой v02 = 54 км/ч и ускорением, равным по величине а2 = 0,5 м/с 2 . Найти время t’, прошедшее с начала наблюдения до остановки второго автомобиля. Через какое время t1 автомобили встретятся, и какой путь от момента начала наблюдения до встречи пройдет каждый из них? Какую скорость будет иметь каждый автомобиль при встрече? Через какое время после начала наблюдения величины скоростей автомобилей окажутся равными? Найти зависимость расстояния между автомобилями от времени и построить график этой зависимости. Начальное расстояние между автомобилями 250 м.

Задача 4. При равноускоренном прямолинейном движении из состояния покоя тело за пятую секунду проходит путь ΔS5 = 1 м. Определить путь ΔS7, который проходит тело за седьмую секунду. Какую скорость v10 будет иметь тело в конце десятой секунды своего движения?

Читайте так же:
Как настроить подключение к беспроводному интернету?

Задача 5. Тело, имея начальную скорость, величина которой v = 5 м/с, прошло за пятую секунду путь, равный ΔS5 = 4,5 м. Определить величину а ускорения и путь ΔS60, пройденный телом за время t60 = 60 c, считая его движение прямолинейным и равнопеременным.

Задача 6. Два тела, 1 и 2, движутся вдоль прямой с ускорениями, модули которых соответственно равны а1 = 1 м/с 2 , а2 = 3 м/с 2 . Некоторую точку А второе тело проходит спустя τ = 14 с после первого в том же направлении. В точке А величина скорости первого тела
vA = 22 м/с, величина скорости второго тела uA = 10 м/с. Через сколько времени t1 после прохождения первым телом точки А, оба тела встретятся? Какую по величине скорость u имело второе тело, и где оно находилось в момент времени, когда первое тело поравнялось с точкой А?

Задача 7. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью, равной по величине v. Найти: время t1 достижения телом максимальной высоты подъема, максимальную высоту H подъема, время t2 всего движения тела, то есть от момента бросания до момента падения на землю, величину скорости v2, с которой тело упало на землю.

Задача 8. Тело свободно падает с высоты h = 19,6 м. Какой путь S1 пройдет тело за первую
t1 = 0,1 c своего движения? Какой путь S2 пройдет тело за последнюю t2 = 0,1 c своего движения?

Задача 9. Тело свободно падает с высоты h = 19,6 м. За какое время t1 тело пройдет первый
S1 = 1 м своего пути? За какое время t2 тело пройдет последний S2 = 1 м своего пути?

Задача 10. Свободно падающее тело в последнюю секунду движения проходит половину своего пути. С какой высоты h падает тело, и каково время t2 его падения?

Задача 11. Камень брошен вертикально вверх. На высоте h он побывал дважды с интервалом времени Δt. Определить величину v начальной скорости бросания камня.

Задача 12. Тело бросают вертикально вверх со скоростью, величина которой равна v. Одновременно с предельной высоты, которой оно может достичь, бросают вертикально вниз другое тело с начальной скоростью V, величина которой тоже равна v. Определить время τ, по истечении которого тела встретятся и высоту h встречи.

Задача 13. Тело бросают с поверхности земли со скоростью, величина которой равна v, под углом α к горизонту. Найти: 1) время t1 достижения максимальной высоты; 2) максимальную высоту Н, на которую поднимется тело; 3) время t2 движения тела от момента броска до момента падения на землю; 4) дальность L полета тела по горизонтали; 5) угол β, под которым нужно бросить тело, чтобы его дальность полета по горизонтали была максимальной; 6) величину v2 скорости, с которой тело упадет на землю; 7) угол γ падения тела на землю; 8) уравнение траектории тела.

Задача 14. Тело, брошенное со скоростью v = 10 м/с под углом α = 45 0 к горизонту, ударяется о стенку ab, находящуюся на расстоянии L = 7 м от места бросания. Найти время t1 полета тела от момента бросания до удара о стенку. Найти величину скорости v1 тела в момент удара о стенку. Когда происходит удар тела о стенку, при его подъеме или при падении? Найти угол β, который составляет вектор скорости тела при ударе о стенку с положительным направлением оси X. На какой высоте h тело ударилось о стенку, считая от высоты, с которой оно брошено?

Задача 15. Шарик свободно падает с высоты h на наклонную плоскость, которая составляет угол α с горизонтом. Найти расстояния s1, s2, s3, и т.д. между точками, в которых подпрыгивающий шарик касается наклонной плоскости. Соударения шарика с наклонной плоскостью считать абсолютно упругими.

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).

© Коллекция подготовительных материалов для успешной сдачи ЕГЭ по физике от Н. Чернова 2012 — 2015 | Контакты: , +79212839427, (81554) 65780

Перемещении при прямолинейном равноускоренном движении

Покажем, как можно найти пройденный телом путь с помощью графика зависимости скорости от времени.

Начнем с самого простого случая — равномерного движения. На рисунке 6.1 изображен график зависимости v(t) — скорости от времени. Он представляет собой отрезок прямой, параллельной осн времени, так как при равномерном движении скорость постоянна. путь при равномерном движении

Фигура, заключенная под этим графиком, — прямоугольник

Путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени.

Покажем теперь, что этим замечательным свойством обладает и неравномерное движение.

Пусть, например, график зависимости скорости от времени имеет вид кривой, изображенной на рисунке 6.2. путь при неравномерном движении

Разобьем мысленно все время движения на столь малые

Тогда путь, пройденный за каждый такой промежуток, численно равен площади фигуры под соответствующим ком графика. Поэтому и весь путь равен площади фигур заключенной под всем графиком. (Использованный нами прием лежит в основе интегрального исчисления, основы которого вы будете изучать в курсе «Начала математического анализа».)

2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Применим теперь описанный выше способ нахождения пути к прямолинейному равноускоренному движению.

Начальная скорость тела равна нулю

Направим ось x в сторону ускорения тела. Тогда ax = a, vx = v. Следовательно,

На рисунке 6.3 изображен график зависимости v(t). график зависимости скорости от времени

? 1. Используя рисунок 6.3, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости путь l выражается через модуль ускорения a и время движения t формулой

При прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату времени движения.

Этим равноускоренное движение существенно отличается от равномерного.

На рисунке 6.4 приведены графики зависимости пути от времени для двух тел, одно из которых движется равномерно, а другое — равноускоренно без начальной скорости. графики зависимости пути от времени для двух тел

? 2. Рассмотрите рисунок 6.4 и ответьте на вопросы. а) Каким цветом изображен график для тела, движущегося равноускоренно? б) Чему равно ускорение этого тела?

Читайте так же:
Как подключиться к OBD 2?

в) Чему равны скорости тел в тот момент, когда они прошли одинаковый путь? г) В какой момент времени скорости тел равны?

? 3. Тронувшись с места, автомобиль за первые 4 с проехал расстояние 20 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какое расстояние проедет автомобиль: а) за 8 с? б) за 16 с? в) за 2 с?

Найдем теперь зависимость проекции перемещения sx от времени. В данном случае проекция ускорения на ось x положительна, поэтому sx = l, ax = a. Таким образом, из формулы (2) следует:

Формулы (2) и (3) очень похожи, что приводит порой к ошибкам при решении простых задач. Дело в том, что значение проекции перемещения может быть отрицательным. Так будет, если ось x направлена противоположно перемещению: тогда sx < 0. А путь отрицательным быть не может!

? 4. На рисунке 6.5 изображены графики зависимости от времени пути и проекции перемещения для некоторого тела. Какой цвет у графика проекции перемещения?

Начальная скорость тела не равна нулю

Напомним, что в таком случае зависимость проекции скорости от времени выражается формулой

Где v0x — проекция начальной скорости на ось x.

Мы рассмотрим далее случай, когда v0x > 0, ax > 0. В этом случае снова можно воспользоваться тем, что путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. (Другие комбинации знаков проекции начальной скорости и ускорения рассмотрите самостоятельно: в результате получится та же общая формула (5).

На рисунке 6.6 изображен график зависимости vx(t) при v0x > 0, ax > 0.

? 5. Используя рисунок 6.6, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью проекция перемещения

Sx = v0x + axt2/2. (5)

Эта формула позволяет найти зависимость координаты x тела от времени. Напомним (см. формулу (6), § 2), что координата x тела связана с проекцией его перемещения sx соотношением

Где x0 — начальная координата тела. Следовательно,

Из формул (5), (6) получаем:

X = x0 + v0xt + axt2/2. (7)

6. Зависимость координаты от времени для некоторого тела, движущегося вдоль оси x, выражается в единицах СИ формулой x = 6 — 5t + t2. а) Чему равна начальная координата тела? б) Чему равна проекция начальной скорости на ось x? в) Чему равна проекция ускорения на ось x? г) Начертите график зависимости координаты x от времени. д) Начертите график зависимости проекции скорости от времени. е) В какой момент скорость тела равна нулю?

ж) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент (моменты) времени? з) Пройдет ли тело через начало координат?

Если да, то в какой момент (моменты) времени? и) Начертите график зависимости проекции перемещения от времени. к) Начертите график зависимости пути от времени.

3. Соотношение между путем и скоростью

При решении задач часто используют соотношения между путем, ускорением и скоростью (начальной v0, конечной v или ими обеими). Выведем эти соотношения. Начнем с движения без начальной скорости. Из формулы (1) получаем для времени движения:

Подставим это выражение в формулу (2) для пути:

L = at2/2 = a/2(v/a)2 = v2/2a. (9)

При прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату конечной скорости.

? 7. Тронувшись с места, автомобиль набрал скорость 10 м/с на пути 40 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какой путь от начала движения проехал автомобиль, когда его скорость была равна: а) 20 м/с? б) 40 м/с? в) 5 м/с?

Соотношение (9) можно получить также, вспомнив, что путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени (рис. 6.7).

Это соображение поможет вам легко справиться со следующим заданием.

? 8. Используя рисунок 6.8, докажите, что при торможении с постоянным ускорением тело проходит до полной остановки путь lт = v02/2a, где v0 — начальная скорость тела, a — модуль ускорения.

В случае торможения транспортного средства (автомобиль, поезд) путь, пройденный до полной остановки, называют тормозным путем. Обратите внимание: тормозной путь при начальной скорости v0 и путь, пройденный при разгоне с места до скорости v0 с тем же по модулю ускорением a, одинаковы.

? 9. При экстренном торможении на сухом асфальте ускорение автомобиля равно по модулю 5 м/с2. Чему равен тормозной путь автомобиля при начальной скорости: а) 60 км/ч (максимальная разрешенная скорость в городе); б) 120 км/ч? Найдите тормозной путь при указанных скоростях во время гололеда, когда модуль ускорения равен 2 м/с2.

Сравните найденные вами значения тормозного пути с длиной классной комнаты.

? 10. Используя рисунок 6.9 и формулу, выражающую площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении: а) l = (v2 — v02)/2a, если скорость тела увеличивается; б) l = (v02 — v2)/2a, если скорость тела уменьшается.

? 11. Докажите, что проекции перемещения, начальной и конечной скорости, а также ускорения связаны соотношением

Sx = (vx2 — v0x2)/2ax (10)

? 12. Автомобиль на пути 200 м разогнался от скорости 10 м/с до 30 м/с. а) С каким ускорением двигался автомобиль? б) За какое время автомобиль проехал указанный путь?

в) Чему равна средняя скорость автомобиля?

Дополнительные вопросы и задания

13. От движущегося поезда отцепляют последний вагон, после чего поезд движется равномерно, а вагон — с постоянным ускорением до полной остановки. а) Изобразите на одном чертеже графики зависимости скорости от времени для поезда и вагона. б) Во сколько раз путь, пройденный вагоном до остановки, меньше пути, пройденного поездом за то же время?

14. Отойдя от станции, электричка какое-то время ехала равноускоренно, затем в течение 1 мин — равномерно со скоростью 60 км/ч, после чего снова равноускоренно до остановки на следующей станции. Модули ускорений при разгоне и торможении были различны. Расстояние между станциями электричка прошла за 2 мин. а) Начертите схематически график зависимости проекции скорости электрички от времени. б) Используя этот график, найдите расстояние между станциями.

Читайте так же:
Можно ли смешивать масло 5W30 и 5W30?

в) Какое расстояние проехала бы электричка, если бы на первом участке пути она разгонялась, а на втором — тормозила? Какова была бы при этом ее максимальная скорость?

15. Тело движется равноускоренно вдоль оси x. В начальный момент оно находилось в начале координат, а проекция его скорости была равна 8 м/с. Через 2 с координата тела стала равной 12 м. а) Чему равна проекция ускорения тела? б) Постройте график зависимости vx(t).

в) Напишите формулу, выражающую в единицах СИ зависимость x(t). г) Будет ли скорость тела равна нулю? Если да, то в какой момент времени? д) Побывает ли тело второй раз в точке с координатой 12 м? Если да, то в какой момент времени?

е) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент времени, и чему будет равен пройденный при этом путь?

16. После толчка шарик вкатывается вверх по наклонной плоскости, после чего возвращается в начальную точку. На расстоянии b от начальной точки шарик побывал дважды через промежутки времени t1 и t2 после толчка. Вверх и вниз вдоль наклонной плоскости шарик двигался с одинаковым по модулю ускорением. а) Направьте ось x вверх вдоль наклонной плоскости, выберите начало координат в точке начального положения шарика и напишите формулу, выражающую зависимость x(t), в которую входят модуль начальной скорости шарика v0 и модуль ускорения шарика a. б) Используя эту формулу и тот факт, что на расстоянии b от начальной точки шарик побывал в моменты времени t1 и t2 составьте систему двух уравнений с двумя неизвестными v0 и a. в) Решив эту систему уравнений, выразите v0 и a через b, t1 и t2.

г) Выразите весь пройденный шариком путь l через b, t1 и t2. д) Найдите числовые значения v0, a и l при b = 30 см, t1 = 1с, t2 = 2 с. е) Постройте графики зависимости vx(t), sx(t), l(t). ж) С помощью графика зависимости sx(t) определите момент, когда модуль перемещения шарика был максимальным.

Техническая механика

В предыдущей статье движение тела или точки определено, как изменение положения в пространстве с течением времени. Для того чтобы более полно охарактеризовать качественные и количественные стороны движения введены понятия скорости и ускорения.

Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве.
Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.

что такое скорость и ускорение точки?

Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const (предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают).
При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.

Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с .

Очевидно, что при криволинейном движении скорость точки будет меняться по направлению.
Для того, чтобы установить направление вектора скорости в каждый момент времени при криволинейном движении, разобьем траекторию на бесконечно малые участки пути, которые можно считать (вследствие их малости) прямолинейными. Тогда на каждом участке условная скорость vп такого прямолинейного движения будет направлена по хорде, а хорда, в свою очередь, при бесконечном уменьшении длины дуги ( Δs стремится к нулю), будет совпадать с касательной к этой дуге.
Из этого следует, что при криволинейном движении вектор скорости в каждый момент времени совпадает с касательной к траектории (рис. 1а) . Прямолинейное движение можно представить, как частный случай криволинейного движения по дуге, радиус которой стремится к бесконечности (траектория совпадает с касательной) .

При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется.
Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t) .

вектор скорости

Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs , то ее средняя скорость равна:

Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе ее значение будет к мгновенной скорости.

Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю :

v = lim vср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt .

Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt .
Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v ). Из этого следует, что предел вектора условной скорости vп , равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.

Ускорение точки в прямолинейном движении

В общем случае движение точки с изменяющейся во времени скоростью называют ускоренным, при этом считая ускорение, вызывающее уменьшение скорости, отрицательным. Иногда движение, в котором скорость с течением времени уменьшается, называют замедленным.

Ускорение есть кинематическая мера изменения скорости точки во времени. Другими словами — ускорение — это скорость изменения скорости.
Как и скорость, ускорение является величиной векторной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением в пространстве.

При прямолинейном движении вектор скорости всегда совпадает с траекторией и поэтому вектор изменения скорости тоже совпадает с траекторией.

Из курса физики известно, что ускорение представляет собой изменение скорости в единицу времени. Если за небольшой промежуток времени Δt скорость точки изменилась на Δv , то среднее ускорение за данный промежуток времени составило: аср = Δv/Δt .

Среднее ускорение не дает представление об истинной величине изменения скорости в каждый момент времени. При этом очевидно, что чем меньше рассматриваемый промежуток времени, во время которого произошло изменение скорости, тем ближе значение ускорения будет к истинному (мгновенному).
Отсюда определение: истинное (мгновенное) ускорение есть предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt , стремящемся к нулю:

Читайте так же:
Что такое Богдан 2110?

а = lim аср при t→0 или lim Δv/Δt = dv/dt .

Учитывая, что v = ds/dt , получим: а = dv/dt = d 2 s/dt 2 .

Истинное ускорение в прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты (расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

Единица ускорения — метр, деленный на секунду в квадрате ( м/с 2 ).

Ускорение точки в криволинейном движении

При движении точки по криволинейной траектории скорость меняет свое направление, т. е вектор скорости является переменной величиной.

Представим себе точку М , которая за время Δt , двигаясь по криволинейной траектории, переместилась в положение М1 (рис. 1) .

ускорение при криволинейном движении

Вектор приращения (изменения) скорости обозначим Δv , тогда: Δv = v1 – v .

Для нахождения вектора Δv перенесем вектор v1 в точку М и построим треугольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:

Вектор аср параллелен вектору Δv , так как от деления векторной величины на скалярную направление вектора не меняется.
Вектор истинного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора приращения скорости к соответствующему промежутку времени, когда последний стремится к нулю:

а = lim Δv/Δt при t→0 .

Такой предел называют векторной производной.
Таким образом, истинное ускорение точки в криволинейном движении равно векторной производной скорости по времени .

Из рисунка 1 видно, что вектор ускорения в криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Так как векторную производную непосредственно вычислять мы не умеем, то ускорение в криволинейном движении будем определять косвенными методами. Так, например, если движение точки задано естественным способом, то применяется теорема о проекции ускорения на касательную и нормаль. Чтобы понять суть этой теоремы, следует рассмотреть понятие кривизны кривых линий.

Понятие о кривизне кривых линий

Рассмотрим криволинейную траекторию точки М (рис. 2а) .
Угол Δφ между касательными к кривой в двух соседних точках называется углом смежности .

понятие кривизны кривой линии и радиуса кривизны

Кривизной кривой в данной точке называется предел отношения угла смежности Δφ к соответствующей длине Δs дуги, когда последняя стремится к нулю.
Обозначим кривизну буквой k , тогда:

k = lim Δφ/Δs при Δs → 0 .

Рассмотрим окружность радиуса R (см. рисунок 2б) .
Так как Δs = RΔφ , то:

k = lim Δφ/Δs = lim Δφ/RΔs = 1/R (при Δs → 0) .

Следовательно, кривизна окружности во всех точках одинакова и равна k = 1/R .

Для каждой точки данной кривой можно подобрать такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в данной точке. Радиус ρ такой окружности называется радиусом кривизны кривой в данной точке, а центр этой окружности – центром кривизны .

Итак, кривизна кривой в данной точке есть величина, обратная радиусу кривизны в данной точке :

Очевидно, что кривизна прямой линии будет равна нулю, а поскольку радиус кривизны такой линии равен бесконечности.

Теорема о проекции ускорения на касательную и нормаль

Проекция ускорения на касательную к траектории называется касательным (тангенциальным) ускорением, а проекция ускорения на нормаль к этой касательной – нормальным ускорением.

Теорема: нормальное ускорение равно квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке; касательное ускорение – первой производной от скорости по времени .

Доказательство этой теоремы основывается на геометрических построениях с учетом приведенных ранее зависимостей перемещения, скорости и ускорения от времени. В данной статье доказательство теоремы не приводится; при необходимости, его можно рассмотреть в других источниках информации.

Итак, на основании теоремы об ускорениях, можно записать:

ап = v 2 /ρ; aτ = dv/dt .

Анализируя формулы касательного и нормального ускорения можно сделать вывод, что касательное ускорение характеризует изменение скорости только по модулю, а нормальное – только по направлению.

Зная величину нормального и касательного ускорения, можно вычислить полное ускорение точки, применив теорему Пифагора:

Направление ускорения: cos (aτ,a) = аτ/а .

Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины.

Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны, поэтому нормальное ускорение иногда называют центростремительным .

Виды движения точки в зависимости от ускорения

Анализируя формулы касательного и нормального ускорений, можно выделить следующие виды движения точки:

ап = v 2 /ρ ≠ 0; aτ = dv/dt ≠ 0 , — неравномерное криволинейное (рис. 3а) ;

ап = v 2 /ρ ≠ 0; aτ = dv/dt = 0 , — равномерное криволинейное (рис. 3б) ;

ап = v 2 /ρ = 0; aτ = dv/dt ≠ 0 , — неравномерное прямолинейное (рис. 3в) ;

aτ = dv/dt = const ≠ 0; ап = v 2 /ρ ≠ 0 , — равнопеременное криволинейное (рис. 3г) ;

aτ = dv/dt = const ≠ 0, ап = v 2 /ρ = 0 , — равнопеременное прямолинейное (рис. 3д) ;

ап = v 2 /ρ = 0; aτ = dv/dt = 0 , — равномерное прямолинейное (движение без ускорения) (рис. 3е) .

виды движения точки с ускорением

Теоремы о проекциях скорости и ускорения на координатную ось

Если движение точки задано координатным способом, то путь (перемещение), скорость и ускорение за промежуток времени Δt можно найти, используя проекции этих величин на координатную ось. Очевидно, что приращение любой из координат при Δt стремящемся к нулю тоже стремится к нулю, и предел такого приращения может быть определен из дифференциальных отношений, устанавливаемых теоремами о проекциях скорости и ускорения:

Теорема: проекция скорости на координатную ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени :

Теорема: проекция ускорения на координатную ось равна второй производной от соответствующей координаты по времени :

ax = d 2 x/Δt 2 ay = d 2 y/Δt 2 az = d 2 z/Δt 2 .

Зная проекции скорости или ускорения на координатные оси, можно определить модуль и направление вектора любой из этих величин, используя теорему Пифагора и тригонометрические соотношения.

Уровень B

1. Шарик скатывается по желобу длиной 1,25 м с ускорением 1,6 м/с 2 . Какова скорость шарика в конце жалоба?

2. Хоккейная шайба пересекла ледяное поле длиной 60 м за 3,0 с и остановилась. Какая скорость была сообщена шайбе клюшкой хоккеиста?

Читайте так же:
Как перевести литры в тонны бензин АИ 92?

3. За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 0,6 м/с 2 , пройдет 30 м?

4. Самолет при отрыве от земли имеет скорость 252 км/ч и пробегает по бетонированной дорожке расстояние 700 м. Сколько времени продолжает разбег самолет? Движение считайте равноускоренным.

5. Ножной тормоз грузового автомобиля считается исправным если при торможении автомобиля, движущегося со скоростью 30 км/ч по сухой и ровной дороге, тормозной путь не превышает 9,0 м. Найдите соответствующее этой норме тормозное ускорение.

6. При какой начальной скорости поезд пройдет путь 1260 м в течении 60 с, замедляя ход с ускорением 1,5 м/с 2 ?

7. Электропоезд тормозит с ускорением 0,40 м/с 2 . Определите, за какое время он остановится, если тормозной путь равен 50 м.

8. Лифт Останкинской телевизионной башни заканчивает свое движение после прохождения 49 м за 14 с. Найдите ускорение и начальную скорость лифта.

9. Поезд, двигаясь с горы с ускорением 0,2 м/с 2 , прошел путь 340 м и развил скорость 19 м/с. Сколько времени двигался поезд и какой была его скорость в начале отсчета?

10. Поезд, движущийся после начала торможения с ускорением 0,40 м/с 2 , через 25 с остановился. Найдите скорость в момент начала торможения и тормозной путь.

Чтобы разобраться с тем, что за тип движения в этом заголовке, нужно ввести новое понятие — ускорение.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. В международной системе единиц СИ измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

СИ — международная система единиц. «Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение — килограмм с приставкой «кило».

Итак, прямолинейное движение — это движение с ускорением по прямой линии. Движение, при котором скорость тела меняется на равную величину за равные промежутки времени.

Уравнение движения и формула конечной скорости

Основная задача механики не поменялась по ходу текста — определение положения тела в данный момент времени. У равноускоренного движения в уравнении появляется ускорение.

Уравнение движения для равноускоренного движения

x(t) = x0 + v0xt + axt^2/2

x(t) — искомая координата [м]
x0 — начальная координата [м]
v0x — начальная скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — время [с]
ax — ускорение [м/с^2]

Для этого процесса также важно уметь находить конечную скорость — решать задачки так проще. Конечная скорость находится по формуле:

Формула конечной скорости

→ →
v = v0 + at


v — конечная скорость тела [м/с]
v0 — начальная скорость тела [м/с]
t — время [с]

a — ускорение [м/с^2]

Задача

Найдите местоположение автобуса через 0,5 часа после начала движения, разогнавшегося до скорости 60 км/ч за 3 минуты.

Решение:

Сначала найдем ускорение автобуса. Его можно выразить из формулы конечной скорости:

v = v0 + at
a = v — v0 / t

Так как автобус двигался с места, v0 = 0. Значит
a = v/t

Время дано в минутах, переведем в часы, чтобы соотносилось с единицами измерения скорости.

3 минуты = 3/60 часа = 1/20 часа = 0,05 часа

Подставим значения:
a = v/t = 60/0,05 = 1200 км/ч^2
Теперь возьмем уравнение движения.
x(t) = x0 + v0xt + axt^2/2

Начальная координата равна нулю, начальная скорость, как мы уже выяснили — тоже. Значит уравнение примет вид:

Ускорение мы только что нашли, а вот время будет равно не 3 минутам, а 0,5 часа, так как нас просят найти координату в этот момент времени.

Подставим циферки:
x = 1200*0,5^2/2 = 1200*0,522= 150 км

Ответ: через полчаса координата автобуса будет равна 150 км.

Задачи на равноускоренное прямолинейное движение

Теперь потренируемся в применении полученных знаний из теории и решим несколько задач на равноускоренное прямолинейное движение.

Задача 1

Известно, что некое тело прошло путь 20 м за 2 с прямолинейного равноускоренного движения. При этом оно увеличило свою скорость в n=3 раза. Необходимо найти конечную скорость этого объекта.

Решение:

Пусть скорость тела была (V_0) , тогда через 2 с она стала равна (V=3V_0) . Так как из задания мы знаем путь, который прошел данный объект, мы можем найти его a по формуле:

Таким образом, пройденное телом расстояние можно записать следующим образом:

Решим квадратное уравнение относительно (V_0) :

Через 2с его скорость будет равна (3V_0=3cdot5=15) м/с —это будет конечная искомая скорость объекта.

Задача 2

Поезд тормозит с a равным (0,2м/с^2) . На каком расстоянии от места начала действия тормоза скорость поезда станет равной 5 м/с, если перед торможением она была равна 15 м/с?

Решение:

Так как скорость поезда уменьшается, ускорение направлено в противоположную сторону от его начальной скорости. При прямолинейном движении перемещение поезда равно расстоянию, которое он пройдет.

Ось 0Х направлена в одну сторону с начальной скоростью, поэтому справедливо: (S_x=S, V_x=V, V_<0x>=V, a_x=-a) .

Задача 2

Используем уже известное нам уравнение (V_x=V_<0x>+a_xcdot t) , из которого выражаем время:

Для определения пути используем формулу (S_x=V_<0x>cdot t+frac2) .

Задача 3

Хоккейная шайба проскользила по льду за 2,5 с расстояние равное 50 м и остановилась. Выяснить, с каким ускорением двигалась шайба.

Решение:Так как шайба остановилась, ее конечная скорость будет равна V=0. Как и в предыдущей задаче, скорость шайбы постепенно уменьшается, следовательно, ускорение будет направлено против движения. Расстояние, которое пройдет шайба за время своего торможения — это длина поля: S=l. Расположим значения на оси 0X: (S_x=l, V_x=0, V_0x=V_0, a_x=-a. )

Задача 3

Эту задачу не так-то просто будет решить по действиям, потому что в каждом уравнении окажутся неизвестными сразу две величины. Таким образом, придется решать систему уравнений:

Из этого получаем:

Если все равно ничего не понятно или просто нет времени на написание работы, обращайтесь в ФениксХелп. Опытные специалисты помогут решить задачу любой сложности.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector