Длина окружности: формулы поиска по радиусу, равному половине диаметра

Длина окружности: формулы поиска по радиусу, равному половине диаметра

Окружность состоит из множества точек, которые находятся на равном расстоянии от центра. Это плоская геометрическая фигура, и найти ее длину не составит труда. С окружностью и кругом человек сталкивается ежедневно независимо от того, в какой сфере он работает. Многие овощи и фрукты, устройства и механизмы, посуда и мебель имеют круглую форму. Кругом называют то множество точек, которое находится в границах окружности. Поэтому длина фигуры равна периметру круга.

Что такое окружность и где она встречается?

Эта плоская фигура представляет собой некоторое количество точек, которые расположены на одинаковом удалении от еще одной, которая является центром. Это расстояние называется радиусом.

В повседневной жизни нечасто приходится вычислять длину окружности, кроме людей, которые являются инженерами и конструкторами. Они создают проекты механизмов, в которых используются, например, шестеренки, иллюминаторы и колеса. Архитекторы создают дома, имеющие круглые или арочные окна.

В каждом из этих и других случаях требуется своя точность. Причем высчитать длину окружности совершенно точно оказывается невозможно. Связано это с бесконечностью основного числа, имеющегося в формуле. «Пи» до сих пор уточняется. И используется чаще всего округленное значение. Степень точности выбирается такой, чтобы дать максимально верный ответ.

По стопам Архимеда

— Какое из двух числе больше 22/7 или 3.14 ?
— Они равны.
— Почему ?
— Каждое из них равно π .
А. А. Власов. Из Экзаменационного билета.

Некоторы полагают, что дробь 22/7 и чисо π тождественно равны. Но это является заблуждением. Помимо вышеприведенного неверного ответа на экзамене (см. эпиграф) к этой группе можно также добавить одну весьма занимательную головоломку. Задание гласит: "переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным".

Решение будет таковым: нужно образовать "крышу" для двух вертикальных спичек слева, используя одну из вертикальных спичек в знаменателе справа. Получится визуальное изображение буквы π .

Многие знают, что приближение π = 22/7 определил древнегреческий математик Архимед. В честь этого часто такое приближение называют "Архимедовым" числом. Архимеду удалось не только установить приближенное значение для π, но также найти точность этого приближения, а именно – найти узкий числовой промежуток, которому принадлежит значение π . В одной из своих работ Архимед доказывает цепь неравенств, которая на современный лад выглядела бы так:

можно записать проще: 3,140 909 < π < 3,1 428 265.

Как видим из неравенств, Архимед нашел довольно-таки точное значение с точностью до 0,002. Самое удивительно то, что он нашел два первых знака после запятой: 3,14. Именно такое значение чаще всего мы используем в несложных расчетах.

Круглые предметы в истории человеческой жизни

Первое изделие круглой формы, которое изобрёл человек — это колесо. Первые конструкции представляли собой небольшие округлые бревна, насаженные на оси. Затем появились колёса, сделанные из деревянных спиц и обода. Постепенно в изделие добавляли металлические детали для уменьшения износа. Именно для того, чтобы узнать длину металлических полос для обивки колёса, учёные прошлых веков искали формулу расчёта этой величины.

Форму колеса имеет гончарный круг, большинство деталей в сложных механизмах, конструкциях водяных мельниц и прялок. Нередко встречаются круглые предметы в строительстве — рамки круглых окон в романском архитектурном стиле, иллюминаторы в суднах. Архитекторы, инженеры, учёные, механики и проектировщики ежедневно в сфере своей профессиональной деятельности сталкиваются с надобностью расчёта размеров окружности.

Циркулем и линейкой находим длину окружности

Геометрия знает немало нерешаемых задач на построение циркулем и линейкой. Одна из таких задач – построить отрезок равный длине окружности произвольного диаметра. Или как говорят профессионалы – развернуть окружность. Ниже рассматривается алгоритм построения такого отрезка с помощью циркуля и линейки без делений.

Итак, строим окружность с произвольным диаметром D на пересечении осей ОХ и OY .

Строим хорду | AB | в любой четверти окружности на её пересечении с осями ОХ и OY . Например, вот так.

Делим хорду пополам и проводим через её середину радиус.

В точке пересечения с хордой радиус поделён на два неравных отрезка. Меньший отрезок обозначим буквой d . После этого всё необходимое для построения отрезка с длиной равной длине окружности у нас имеется. Откладываем три диаметра окружности на произвольной прямой и дополняем их отрезком d . Полученный результирующий отрезок 3D+d это и есть развёртка окружности с произвольным диаметром D .

Предлагаемый метод определения длины окружности даёт погрешность относительно аналитического расчёта длины окружности через Пи примерно 0,15 % для окружностей любого диаметра. Например, для окружности с диаметром один метр эта ошибка составит 1,5 миллиметра. Такая стабильная погрешность, скорее всего, свидетельствует о наличии методической ошибки в предлагаемом алгоритме. Однако найти причину этой ошибки автор не смог. Описываемый метод имеет ещё одно замечательное свойство – он позволяет вычислить найденную в результате геометрического построения длину окружности аналитически. Для этого достаточно воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике.

В общем виде зависимость длины окружности от её радиуса теперь можно описать следующей формулой:

Помните русскую пословицу – семь раз отмерь, один раз отрежь? Похоже, авторы этой пословицы что-то знали про рассматриваемый нами алгоритм. Проведя несложные преобразования, в конце концов, мы получим знакомую нам формулу связывающую длину окружности с её диаметром.

К сожалению, полностью избавиться от иррациональных чисел в формуле вычисления длины окружности нам не удалось. На смену Пи пришёл корень квадратный из двух, который также является иррациональным числом. Жаль! Тем не менее, численное значение нашего сомножителя существенно отличается от известной на сегодняшний день величины Пи .

Отношение найденного в результате геометрического построения сомножителя к Пи составляет величину чуть-чуть больше единицы.

Полученный коэффициент позволяет вычислять Пи через корень квадратный из двух и, по сути, связывает эти два иррациональных числа. При этом остаётся открытым вопрос — что первичней Пи или корень квадратный из двух? С моей точки зрения корень из двух будет всё-таки пофундаментальнее. Поэтому логичнее находить Пи через корень из двух, а не наоборот. А теперь внимание! Наверняка вы слышали такую поговорку – дьявол кроется в деталях. Вот вам буквальное подтверждение этого афоризма. При вычислении Пи через корень квадратный из двух, совершенно случайно, получается вот такая дробь:

Будем относиться к этому, как к проявлению своеобразного чувства юмора у царицы наук — математики при обращении с иррациональными числами.

Дальнейшее исследование нашего алгоритма было направлено на изучение сходимости результатов аналитического и геометрического методов определения длины окружности. Для этого была построена таблица, в которой вычислялись длины окружностей с диаметрами от 1 до 5 для разных значений Пи . Полученные результаты сравнивались с длинами тех же окружностей, найденных геометрическим методом (последняя строка таблицы). Расхождение результатов двух методов в процентах (%) зафиксировано в последнем столбце таблицы.

Из представленных данных видно, что при увеличении точности числа Пи (количества знаков после запятой), погрешность до какого-то значения Пи уменьшается, а затем начинает медленно расти. При этом нулевое значение погрешности находится далеко в стороне от истинного значения числа Пи , на расстоянии всё той же методической погрешности в 0,15%. Такие результаты наводят на крамольные мысли о неверных аналитических методах вычисления числа Пи , основанных на аппроксимации окружности через вписанные и описанные многоугольники. А что по этому поводу думаете вы, уважаемые читатели? Могли учёные нескольких поколений ошибаться при вычислении длины окружности? Или рассмотренное геометрическое решение всё-таки не безукоризненно и скрывает в себе методическую ошибку?

Усложнение формулы

Группе продвинутых учеников предлагается задание «Как изменить градусную формулу?». Можно ли найти значение радиуса, используя другие геометрические выражения, например, представить его как половину диаметра круга? В этом случае формулы будет выглядеть следующим образом: r=1/2d, тогда l= πd/360*n.

Если использовать формулу вычисления площади круга и выразить радиус через неё, тогда можно получить s=πr 2 .

Обозначаться радиус будет интересно — в виде производной квадратного корня. Вывести формулу нетрудно, это станет прекрасной ментальной гимнастикой для учащихся.

Базовая цель уроков математики — развитие аналитического мышления учащихся достигается в процессе обсуждения и сравнения различных методик расчета. В качестве дополнительного задания можно предложить ученикам посчитать значение кривой линии наружного края школьной клумбы. Затем следует попросить обосновать свои расчеты.

Использование наглядности поможет учащимся подружиться с формулами, увидеть роль геометрии в повседневной практической жизни и облегчить усвоение конкретного материала.